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第47章 数学竞赛开始开考九分钟一试就做完了（第4页）

江辰內心：“递推不等式放缩，整数部分89。”

写：89。

……

八道填空题，江辰连草稿纸都没碰。

眼睛扫过去，大脑自动计算，答案秒出。

不到一分钟，填空题全部搞定。

接下来是三道简答题。

【第九题（16分）】

【已知正实数x，y，z满足x+y+z=1，证明：（1x-1）（1y-1）（1z-1）≥8。】

江辰扫了一眼，提笔就写：

“证法一：齐次化，令x=a（a+b+c）等，代入化简得等价於（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc，由均值不等式显然成立。”

“证法二：直接展开，原式等价於证明（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz，由x+y+z=1得1-x=y+z≥2√（yz），同理，三式相乘即得。”

“证法三：换元法，令x=1（1+a）等，则条件化为1（1+a）+1（1+b）+1（1+c）=1，需证abc≥8，由条件可推出a+b+c≥6，再由均值得abc≥8。”

三种解法，行云流水。

两分钟写完。

【第十题（20分）】

【在平面直角坐標系中，给定拋物线c:y=x2。设a，b是c上两个不同的动点，且满足oa⊥ob（o为原点）。求线段ab中点m的轨跡方程。】

江辰看了一眼，思路秒出。

“设a（t?，t?2），b（t?，t?2），由oa⊥ob得t?t?（t?t?+1）=0。”

“因为a≠b，所以t?t?=-1。”

“然后求中点坐標，消参，轨跡方程：y=2x2+12。“

“他又补充了第二种解法……用极点极线理论，一步出结果。“

三分钟写完。

【第十一题（20分）】

【设n为正整数，证明：存在n个不同的正整数，使得它们的和等於它们的积。】

这道题……江辰看著有点眼熟。

哦，前几天在办公室做过类似的，当时他写了三种解法。

现在试卷空白处有限，他想了想，决定写两种就够了。

“证法一：构造法。取前n-1个正整数1，2，…，n-1，以及第n个数s=n（n-1）2。验证和=积=n（n-1）2+n（n-1）2=n（n-1），构造成立。”

“证法二：数学归纳法。n=1时取1显然成立。假设n=k时存在{a?，…，a_k}满足条件，令s=∑a_i，p=na_i，且s=p。考虑k+1情形，取新序列{a?，…，a_k，s+1}，则新和=2s+1，新积=p（s+1）=s（s+1），需证2s+1=s（s+1），即s2-s-1=0，但s为整数，故不成立。需调整构造……”

他写到这里，突然停笔。

不是不会，是觉得这样写太囉嗦。

他换了个思路，直接在下面写：

“更简洁的构造：取数列{2，3，1，1，…，1}（共n个1），但需调整。实际上，標准构造为：取a?=1，a?=2，a?=3，其余a_i=1（i≥4），则和为n+5，积为6，需n+5=6，故n=1时成立，n＞1时需另寻构造。”

“最终构造（经计算）：当n=1时取{2}（和=积=2）；当n=2时取{2，2}（和=积=4）；当n≥3时，取数列{1，2，3，1，1，…，1}（后n-3项均为1），则和为n+3，积为6，令n+3=6得n=3，即{1，2，3}满足。对n＞3，需调整：取{1，2，3，k，1，1，…，1}，使3k=n+3+k，即2k=n+3，故k=（n+3）2需为整数，当n为奇数时成立。”

“综上，对任意n存在构造。”

写完，江辰看了看表。

8:09。